正解は【カキ（牡蠣）】
「口が堅い」は英語で[close as an oyster]です。
[close]は色々な意味がありますが、この場合は形容詞で「閉まった」、「密閉した」という意味にとらえれば分かり易いかもしれません。
[close as an oyster]で、「カキのように閉じている」⇒「口が堅い」ということなんです。

[Don't worry, I'm not gonna reveal your secret. I'm close as an oyster.]
「心配しないで、あなたの秘密は公言しません。ぼくは口が堅いんです。」